Giáo trình: Cơ sở xác suất hiện đại

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiệntượng ngẫu nhiên và quy luật ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất được khởi đầu từ những trao đổi thư từ giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Blaise Pascal (1623-1662) và Pierre deFermat (1601-1665) về một số bài toán liên quan đến trò chơi cờ bạc. Từ những ứng dụng trong các trò chơi may rủi, lý thuyết xác suất đã được phát triển thành một ngành học có vai trò rất quan trọng trong cuộc sống.

Lý thuyết xác suất hiện đại đã xây dựng theo hướng tiên đề hóa. Nhà toán học có đóng góp lớn nhất là Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Trong cuốn sách “Cơ sở của lý thuyết xác suất” được xuất bản bằng tiếng Đức vào năm 1933, Kolmogorov đã kế thừa những thành tựu mới nhất của lý thuyết độ đo và giải tích hàm để xây dựng cơ sở toán học cho lý thuyết xác suất. Khi đó, lý thuyết xác suất mới được giới toán học thừa nhận là một ngành toán học chính thống. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã được phát triển mạnh mẽ, vừa có tầm lý thuyết ở trình độ cao, vừa có phạm vi ứng dụng sâu rộng trong khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Đặc biệt, lý thuyết xác suất cung cấp phương pháp và cơ sở lý luận cho khoa học thống kê.

Ở nước ta, xác suất đã được giảng dạy đầu tiên tại trường đại học Tổng hợp Hà Nội vào năm 1960. Hiện nay, xác suất đã được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học và trong hầu hết các ngành học. Trong hơn năm mươi năm qua, các tài liệu về xác suất đã được xuất bản khá nhiều. Tuy nhiên, do thời lượng giảng dạy và đặc điểm của người học, nhiều kiến thức về lý thuyết xác suất thường chỉ được trình bày ở cấp độ mở đầu, nhiều kết quả chỉ được mô tả trực quan và không thể trình bày chứng minh chi tiết. Sốlượng tài liệu trình bày về lý thuyết xác suất đảm bảo được cơ sở toán họ cchặt chẽ còn rất ít. Chính điều này đã tạo ra trở ngại lớn cho những người muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết xác suất.

Chúng tôi biên soạn cuốn sách này để đáp ứng nhu cầu học tập, giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng lý thuyết xác suất ở cấp độ nâng cao. Cuốn sách được viết trên cơ sở các bài giảng của các tác giả dành cho sinh viên đại học các năm cuối, các học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành toán.

Cuốn sách gồm 3 chương. Chương 1 trình bày về một số khái niệm vàtính chất cơ sở của lý thuyết xác suất: không gian xác suất, xác suất có điều kiện, biến ngẫu nhiên, kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, các biến ngẫ unhiên độc lập và martingale...

Chương 2 đề cập về định lý giới hạn đối với dãy biến ngẫu nhiên. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày về các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên. Sau đó, chúng tôi trình bày về hàm đặc trưng và ứng dụng của công cụ hàm đặc trưng để nghiên cứu một số dạng của định lý giới hạn trung tâm và định lý Poisson. Tiếp theo, chúng tôi trình bày sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên và luật số lớn. Cuối cùng chúng tôi đề cập đến các biến ngẫu nhiên trực giao và một số tính chất hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên khả tích đều.

Chương 3 trình bày về một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất trên không gian Banach. Trong chương này, sau khi hệ thống hóa lại một số kiến thức về giải tích hàm, chúng tôi đi sâu vào trình bày về các tập Borel trên không gian Banach và sự hội tụ yếu của độ đo trên không gianmêtric. Tiếp theo, chúng tôi trình bày về phần tử ngẫu nhiên cùng với các khái niệm và tính chất cơ bản của kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện và martingale nhận giá trị trên không gian Banach. Cuối cùng, chúng tôi đề cập đến các định lý giới hạn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, trong đó một số kết quả của Chương 2 về sự hội tụ của chuỗi biến ngẫu nhiên và luật số lớn sẽ được mở rộng.

Cuối mỗi chương đều có các bài tập. Phần lớn các bài tập này đều được hướng dẫn giải ở cuối tài liệu.

Cuốn sách này được hoàn thành với sự đóng góp của TS. Lê Văn Thành, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Lê Hồng Sơn, TS. Võ Thị Hồng Vân, các thạc sĩ Nguyễn Ngọc Huy, Dương Xuân Giáp, Nguyễn Trần Thuận... Nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn sự hợp tác, đóng góp của các bạn. Chúng tôi cũng xin cảm ơn các đồng nghiệp ở Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh, Khoa Toán - Ứng dụng, Phòng Quản lý khoa học và Sau đại học thuộc Trường Đại học Sài Gòn đã quan tâm động viên các tác giả hoàn thành cuốn sách này.

Mặc dù các tác giả đã rất cố gắng, nhưng cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự trao đổi và góp ý của bạn đọc.

                                                                                    GS.TS. Nguyễn Văn Quảng